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      實分析中三個概念的教學處理

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      實分析中三個概念的教學處理

      時間:2013-12-12    文章來源:作者投稿    分類:學報論文范文

      本文成功發表于阜陽師范學院學報(自然科學版) 2013年06月第2期,現將全文展示給大家參考和學習。

      1點集測度與區間長度

      現介紹關于區間體積的兩個引理,只述而不證。

      引理1若UIiUI'i(Ii與I'i皆為半開區間),Ir∩Is=,I'r∩I's=(r≠s),則Σ|Ii|≤Σ|I'i|,這里|Ii|,|I'i|分別表示Ii,I'i的體積。
      引理2(區間體積加性定理)若I=UIi,Ir∩Is=(r≠s),則|I|=Σ|Ii|。先就一維情形來討論。

      由于R1中開集恒可表為可列個互不相交的半開區間之并,故可得定義1設開集G=∪∞k=1Ik,Ik(k=1,2,…)為互不相交的半開區間,則它們的長度之和Σ∞k=1|Ik|稱為G的勒貝格測度,簡稱L測度,記作mG=Σ∞k=1|Ik|。

      由定義1,可知凡開集皆L可測,開區間當然L可測。

      例1設I=(a,b〗,則開區間(I)=(a,b)的L測度等于I的長度,從而等于(I)的長度,簡言之,開區間的L測度等于它的長度。
      證設(I)=∪Jj,Jr∩Js=(r≠s),取IN=a,b-(1]N,于是IN∪JjI,則由引理1,|I|≥Σ|Ji|≥|IN|= b-1N-aN→→∞b-a=|I|,故Σ|Jj|=|I|,即m(I)=|I|=|(I)|。由于開集與閉集的差集是開集,故可得:定義2設F為閉集,G為開集,且FG,則稱mG-m(G-F)為F的L測度,即mF=mG-m(G-F)。

      由定義2,可知凡閉集L皆可測,閉區間當然L可測。例2設I=(a,b],則閉區間[I]=[a,b]的L測度等于I的長度,從而等于[I]的長度,簡言之,閉區間的L測度等于它的長度。證令(IN)=a-1N,b+(1)N,則[I](IN),由定義2,m[I]=m(IN)-m((IN)-[I])=m(IN)-m a-1N((,a)∪(b,b+1))N,而a-1N(,a)∩(b,b+1)N=,由引理2 m[I]=i,m(IN)-m a-1N((,a)+m (b,b+1))N,由例1 m[I]=b-a+2N-1N+(1)N=b-a=|I|=|[I]|。

      定義3設ER1,則m*E=sup{mF|FE,F為閉集}及m*E=inf{mG|GE,G為開集}分別稱為E的L內測度與L外測度。若m*E=m*E,則稱E為L可測集,并稱mE=m*E=m*E為E的L測度。

      例3設半開區間I=(a,b〗,則I為L可測集,且mI=|I|。證令[I]=a+1N[,b],(I)=(a,b+1)N,則m*E=sup{m[I]l[I]I}=sup m a+1N{[,b ]l[I]I}=sup b-a-1N{|[I]I}=b-a,m*E=inf{m(I)|(I)I}=inf m a,b+(1]N{l[I]I}=inf b-a+1N{|(I)I}=b-a,由定義3,I=(a,b]為L可測集,且mI=b-a=|I|。

      綜合例1,2,3,可得任何區間I都是L可測的,且mI=|I|。由此可知,R1中點集測度概念是區間長度概念的推廣。n維空間R″中點集測度定義可類似引入,并也可證明區間測度等于其體積,從而可見,點集測度概念是區間體積概念的推廣。特別地,R2中區間測度等于矩形面積,點集測度概念是矩形面積概念的推廣,R3中區間測度等于長方形體體積,點集測度概念是長方體體積概念的推廣。

      2下方圖形與曲邊梯形下方圖形也是實變函數中的一個重要概念,在教學中如果直接引入,可能會使部分學生覺得不好理解,難以接受。而曲邊梯形是數學分析中的大家熟知的概念。如果從曲邊梯形定義出發逐步推廣得到下方圖形定義,效果定會看好。

      設f(x)為閉區間[a,b]上的連續函數[1],且f(x)≥0。由曲線y=f(x),直線x=a,x=b以及x軸所謂成的平面圖形,稱為曲邊梯形,也可稱f(x)在[a,b]上的下方圖形其實曲邊梯形或下方圖形,就是平面R2中的點集{(x,y)|x∈[a,b],0≤y<f(x)}。

      若將[a,b]換成n維空間R″中的閉區間[a1,b1;a2,b2;…;an,bn],則下方圖形的一般情況的定義為:設f(x)=f(x1,x2,…,xn)為n維閉區間[a1,b1;a2,b2;…;an,bn]上的非負函數,則Rn+1中的點集{(x,z)|x=(x1,x2,…,xn)∈[a1,b1;a2,b2;…;an,bn],0≤z<f(x)}稱為f(x)在[a1,b1;a2,b2;…;an,bn]上的下方圖形。若再將n維閉區間換成一般n維點集E,則下方圖形的定義,更一般情況,有:

      定義4設f(x)=f(x1,x2,…,xn),是在n維空間Rn中的一個點集E上定義的非負函數,則Rn+1中的點集{(x,z)|x=(x1,x2,…,xn)∈E,0≤z<f(x)}稱為f(x)在E上的下方圖形,記作G(E,f)。

      由上述可知,下方圖形可看作是曲邊梯形的推廣,下方圖形的測度mG(E,f)可視為曲邊梯形面積的推廣,從而又可由定積分的幾何意義:在[a,b]上非負數函數f(x)的定積分,就是連續曲線y=f(x)≥0在[a,b]上形成的曲邊梯形的面積。

      推廣得到非負可測函數L積分的幾何意義:第2期胡紹宗:實分析中三個概念的教學處理91設f(x)為可測集E∈R″上的非負可測函數[2],則∫Ef(x)dx=mG(E,f)。3凸集與凸多邊形凸集是泛函分析中常用的一個重要概念,它比較抽象,對初學者不易理解,我認為可以從凸多邊形定義講起,然后過度到凸集定義,這樣比較自然、直觀,也不顯得抽象了。具體來說,凸多邊形是初等幾何中常見的幾何圖形,為大家熟知的,它的含義即這樣的多邊形中,任意兩點間連接線段都在形內。我們可以把凸多邊形看作平面R2上封閉折線所圍成的點集A,這樣凸多邊形可稱為平面上凸集。摘自:學報投稿網http://www.hlwx999.com/

      對于x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2以及a∈R1,規定x+y=(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2),ax=a(x1,x2)=(ax1,ax2),則R2按上述運算成為線性空間,于是ax+(1-a)y=a(x1,x2)+(1-a)(y1,y2)=(ax1,ax2)+((1-a)y1,(1-a)y2)=(ax1+(1-a)y1,ax2+(1-a)y2),因當a=0時,ax+(1-a)y=(y1,y2),當a=1時,ax+(1-a)y=(x1,x2),故當0≤a≤1時,點ax+(1-a)y總在聯接x,y兩點的線段上變動,即點集{ax+(1-a)y|0≤a≤1}為聯接兩點x,y的線段。

      因此,凸多邊形定義又可寫成如下形式:設x,y為多邊形A中任意兩點,如果線段{ax+(1-a)y|0≤a≤1}都在A中,則稱A為凸多邊形(或平面上凸集)。一般情形,若A不限于多邊形,而為R2中一般點集,很自然可述為:設x,y為A中任意兩點,如果線段{ax+(1-a)y|0≤a≤1}都在A中,則稱A為凸集。更一般情形,有:定義5設E為線性空間[3],AE,如果對于A中的任意兩點x,y,聯接這兩點的線段{ax+(1-a)y|0≤a≤1}都在A中,則稱A為凸集。

      上述對實分析中三個概念的處理方法,體現了我們在數學教學過程中應該遵循的普遍規律:由淺入深、由特殊到一般、由具體升發抽象。

      本文通過對基于開源GIS軟件的WebGIS系統架構與功能進行深入探討和研究,選擇PostGIS、Geoserver、GeoWebCache、OpenLayers等開源軟件構建一個通用的型的WebGIS系統。本系統具有跨平臺、松耦合、低成本、高穩定性等特點,能夠滿足一般WebGIS系統的信息發布、瀏覽、查詢等功能,在中小企業和科研機構有較高的應用價值,可以為企業和科研機構節約大量財力、物力,同時系統的功能和性能也完全不遜于商業WebGIS軟件開發的系統。

      參考文獻:

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